Límites de funciones e indeterminaciones

1. Queremos calcular:
   $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$$
2. Al sustituir obtenemos $\frac{0}{0}$: es una forma indeterminada, hay que transformar la expresión.
   ¿Por qué? $\frac{0}{0}$ no es un número: el resultado depende de lo rápido que se acercan a cero el numerador y el denominador. Hay que transformar la expresión para descubrirlo.
3. Factorizamos el numerador y el denominador:
   $$\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}$$
4. Cancelamos el factor común:
   $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+2\right)$$
   ¿Por qué? Para calcular el límite solo importan los valores cerca del punto, no en el punto. Allí el factor común no es cero, así que se puede simplificar.
5. Ahora sí sustituimos:
   $$\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+2\right)=4$$
   ¿Por qué? Tras simplificar, la expresión ya no da $\frac{0}{0}$ en el punto: es continua allí, así que el límite es simplemente su valor. La simplificación solo cambió la expresión en el punto, que no cuenta para el límite.
6. Resultado:
   $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=4$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Regla de L'Hôpital, Series de Taylor, Tabla de valores (numérico).

1. Queremos calcular:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{x}$$
2. Al sustituir obtenemos $\frac{0}{0}$: es una forma indeterminada, hay que transformar la expresión.
   ¿Por qué? $\frac{0}{0}$ no es un número: el resultado depende de lo rápido que se acercan a cero el numerador y el denominador. Hay que transformar la expresión para descubrirlo.
3. Regla de L'Hôpital: derivamos el numerador y el denominador por separado.
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x\right)}{1}$$
   ¿Por qué? Cerca del punto, numerador y denominador se parecen a sus rectas tangentes, así que su cociente se parece al cociente de sus derivadas. Solo vale con $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$.
4. Ahora ya podemos sustituir:
   $$1$$
   ¿Por qué? Tras simplificar, la expresión ya no da $\frac{0}{0}$ en el punto: es continua allí, así que el límite es simplemente su valor. La simplificación solo cambió la expresión en el punto, que no cuenta para el límite.
5. Resultado:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{x}=1$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Series de Taylor, Tabla de valores (numérico).

1. Queremos calcular:
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2+1}{2x^2-x}$$
2. Es un cociente de polinomios: comparamos el grado del numerador (2) con el del denominador (2).
   ¿Por qué? Cuando $x$ es enorme, en cada polinomio solo importa el término de mayor grado; los demás son despreciables a su lado. Por eso basta comparar grados.
3. Los grados son iguales: el límite es el cociente de los coeficientes principales.
   $$\frac{3}{2}$$
4. Resultado:
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2+1}{2x^2-x}=\frac{3}{2}$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Regla de L'Hôpital, Tabla de valores (numérico).

1. Queremos calcular:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos \left(x\right)}{x^2}$$
2. Al sustituir obtenemos $\frac{0}{0}$: es una forma indeterminada, hay que transformar la expresión.
   ¿Por qué? $\frac{0}{0}$ no es un número: el resultado depende de lo rápido que se acercan a cero el numerador y el denominador. Hay que transformar la expresión para descubrirlo.
3. Regla de L'Hôpital: derivamos el numerador y el denominador por separado.
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos \left(x\right)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{2x}$$
   ¿Por qué? Cerca del punto, numerador y denominador se parecen a sus rectas tangentes, así que su cociente se parece al cociente de sus derivadas. Solo vale con $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$.
4. Sigue siendo una forma indeterminada: aplicamos L'Hôpital otra vez.
5. Regla de L'Hôpital: derivamos el numerador y el denominador por separado.
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x\right)}{2}$$
6. Ahora ya podemos sustituir:
   $$\frac{1}{2}$$
   ¿Por qué? Tras simplificar, la expresión ya no da $\frac{0}{0}$ en el punto: es continua allí, así que el límite es simplemente su valor. La simplificación solo cambió la expresión en el punto, que no cuenta para el límite.
7. Resultado:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos \left(x\right)}{x^2}=\frac{1}{2}$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Series de Taylor, Tabla de valores (numérico).

1. Queremos calcular:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$$
2. Al sustituir obtenemos $\frac{0}{0}$: es una forma indeterminada, hay que transformar la expresión.
   ¿Por qué? $\frac{0}{0}$ no es un número: el resultado depende de lo rápido que se acercan a cero el numerador y el denominador. Hay que transformar la expresión para descubrirlo.
3. Regla de L'Hôpital: derivamos el numerador y el denominador por separado.
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}}{1}$$
   ¿Por qué? Cerca del punto, numerador y denominador se parecen a sus rectas tangentes, así que su cociente se parece al cociente de sus derivadas. Solo vale con $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$.
4. Ahora ya podemos sustituir:
   $$\frac{1}{4}$$
   ¿Por qué? Tras simplificar, la expresión ya no da $\frac{0}{0}$ en el punto: es continua allí, así que el límite es simplemente su valor. La simplificación solo cambió la expresión en el punto, que no cuenta para el límite.
5. Resultado:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\frac{1}{4}$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Series de Taylor, Tabla de valores (numérico).

1. Queremos calcular:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$$
2. Al sustituir obtenemos $\frac{1}{0}$: la función crece sin control cerca del punto. Estudiamos los límites laterales.
   ¿Por qué? El límite existe solo si al acercarse por la izquierda y por la derecha se llega al mismo valor. Si dan distinto, no hay un único valor al que acercarse.
3. Los límites laterales son distintos, así que el límite no existe.
   $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Tabla de valores (numérico).

1. Queremos calcular:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$$
2. Al sustituir obtenemos $\frac{0}{0}$: es una forma indeterminada, hay que transformar la expresión.
   ¿Por qué? $\frac{0}{0}$ no es un número: el resultado depende de lo rápido que se acercan a cero el numerador y el denominador. Hay que transformar la expresión para descubrirlo.
3. Regla de L'Hôpital: derivamos el numerador y el denominador por separado.
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{1}$$
   ¿Por qué? Cerca del punto, numerador y denominador se parecen a sus rectas tangentes, así que su cociente se parece al cociente de sus derivadas. Solo vale con $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$.
4. Ahora ya podemos sustituir:
   $$1$$
   ¿Por qué? Tras simplificar, la expresión ya no da $\frac{0}{0}$ en el punto: es continua allí, así que el límite es simplemente su valor. La simplificación solo cambió la expresión en el punto, que no cuenta para el límite.
5. Resultado:
   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Series de Taylor, Tabla de valores (numérico).

1. Queremos calcular:
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$
2. Analizamos qué término domina cuando la variable crece sin límite.
   ¿Por qué? Cuando $x$ es enorme, en cada polinomio solo importa el término de mayor grado; los demás son despreciables a su lado. Por eso basta comparar grados.
3. Resultado:
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e\approx 2.718281828$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Tabla de valores (numérico).