Integrales racionales (fracciones simples)

1. Queremos calcular:
   $$\int \frac{1}{x^2-1}dx$$
2. Descomponemos en fracciones parciales:
   $$\frac{1}{x^2-1}=-\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}$$
   ¿Por qué? Una fracción complicada se puede escribir como suma de fracciones simples, y cada una de esas tiene una integral conocida (normalmente un logaritmo).
3. Factor constante: sacamos $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.
   $$\int \frac{-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}}{2}dx=\frac{1}{2}\int \left(-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\right)dx$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
4. Integral de una suma: integramos cada término por separado.
   $$\int \left(-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\right)dx=\int \frac{1}{x-1}dx+\int -\frac{1}{x+1}dx$$
   ¿Por qué? Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una suma es la suma de derivadas, la integral de una suma también se hace término a término.
5. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
   $$\int \frac{1}{x-1}dx=\ln \left(x-1\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
6. Factor constante: sacamos $-1$ fuera de la integral.
   $$\int -\frac{1}{x+1}dx=-1\int \frac{1}{x+1}dx$$
7. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
   $$\int \frac{1}{x+1}dx=\ln \left(x+1\right)$$
8. Juntamos los resultados:
   $$\int \left(-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\right)dx=\ln \left(x-1\right)-\ln \left(x+1\right)$$
9. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{\ln \left(x-1\right)}{2}-\frac{\ln \left(x+1\right)}{2}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}dx$$
2. Cambio de variable (sustitución): sea $u=x^2+3x+2$, entonces $du=2x+3dx$.
   $$\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}dx=\int \frac{1}{u}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
3. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
   $$\int \frac{1}{u}du=\ln \left(u\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
4. Deshacemos el cambio $u=x^2+3x+2$:
   $$\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}dx=\ln \left(x^2+3x+2\right)$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
5. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}dx=\ln \left(x^2+3x+2\right)+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

En Lyz Math también puedes verlo con: Fracciones parciales.

1. Queremos calcular:
   $$\int \frac{x^2}{x+1}dx$$
2. Descomponemos en fracciones parciales:
   $$\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$$
   ¿Por qué? Una fracción complicada se puede escribir como suma de fracciones simples, y cada una de esas tiene una integral conocida (normalmente un logaritmo).
3. Integral de una suma: integramos cada término por separado.
   $$\int \left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx=\int xdx+\int -1dx+\int \frac{1}{x+1}dx$$
   ¿Por qué? Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una suma es la suma de derivadas, la integral de una suma también se hace término a término.
4. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int xdx=\frac{x^2}{2}$$
5. Integral de una constante: $\int cdx=cx$.
   $$\int -1dx=-x$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
6. Cambio de variable (sustitución): sea $u=x+1$, entonces $du=dx$.
   $$\int \frac{1}{x+1}dx=\int \frac{1}{u}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
7. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
   $$\int \frac{1}{u}du=\ln \left(u\right)$$
8. Deshacemos el cambio $u=x+1$:
   $$\int \frac{1}{x+1}dx=\ln \left(x+1\right)$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
9. Juntamos los resultados:
   $$\int \left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x+\ln \left(x+1\right)$$
10. Sumamos la constante de integración $C$:
    $$\int \frac{x^2}{x+1}dx=\frac{x^2}{2}-x+\ln \left(x+1\right)+C$$
    ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int \frac{1}{x^2+4}dx$$
2. Integral tipo arcotangente: $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$.
   $$\int \frac{1}{x^2+4}dx=\frac{\mathrm{atan}\left(\frac{x}{2}\right)}{2}$$
3. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \frac{1}{x^2+4}dx=\frac{\mathrm{atan}\left(\frac{x}{2}\right)}{2}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int \frac{x+1}{x^2-4x+3}dx$$
2. Descomponemos en fracciones parciales:
   $$\frac{x+1}{x^2-4x+3}=-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-3}$$
   ¿Por qué? Una fracción complicada se puede escribir como suma de fracciones simples, y cada una de esas tiene una integral conocida (normalmente un logaritmo).
3. Integral de una suma: integramos cada término por separado.
   $$\int \frac{x+1}{x^2-4x+3}dx=\int \frac{x-2}{x^2-4x+3}dx+\int \frac{3}{x^2-4x+3}dx$$
   ¿Por qué? Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una suma es la suma de derivadas, la integral de una suma también se hace término a término.
4. Factor constante: sacamos $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.
   $$\int \frac{x-2}{x^2-4x+3}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x-4}{x^2-4x+3}dx$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
5. Cambio de variable (sustitución): sea $u=x^2-4x+3$, entonces $du=2x-4dx$.
   $$\int \frac{x+1}{x^2-4x+3}dx=\int \frac{1}{u}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
6. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
   $$\int \frac{1}{u}du=\ln \left(u\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
7. Deshacemos el cambio $u=x^2-4x+3$:
   $$\int \frac{x+1}{x^2-4x+3}dx=\ln \left(x^2-4x+3\right)$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
8. Factor constante: sacamos $3$ fuera de la integral.
   $$\int \frac{3}{x^2-4x+3}dx=3\int \frac{1}{x^2-4x+3}dx$$
9. Cambio de variable (sustitución): sea $u=x-2$, entonces $du=dx$.
   $$\int \frac{1}{-4u+{\left(u+2\right)}^2-5}dx=\int \frac{1}{-4u+{\left(u+2\right)}^2-5}du$$
10. Descomponemos en fracciones parciales:
    $$\frac{1}{-4u+{\left(u+2\right)}^2-5}=-\frac{1}{2\left(u+1\right)}+\frac{1}{2\left(u-1\right)}$$
11. Descomponemos en fracciones parciales:
    $$\frac{1}{u^2-1}=-\frac{1}{2\left(u+1\right)}+\frac{1}{2\left(u-1\right)}$$
12. Factor constante: sacamos $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.
    $$\int -\frac{1}{2\left(u+1\right)}+\frac{1}{2\left(u-1\right)}du=\frac{1}{2}\int \left(-\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u-1}\right)du$$
13. Integral de una suma: integramos cada término por separado.
    $$\int \left(-\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u-1}\right)du=\int \frac{1}{u-1}du+\int -\frac{1}{u+1}du$$
14. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
    $$\int \frac{1}{u-1}du=\ln \left(u-1\right)$$
15. Factor constante: sacamos $-1$ fuera de la integral.
    $$\int -\frac{1}{u+1}du=-1\int \frac{1}{u+1}du$$
16. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
    $$\int \frac{1}{u+1}du=\ln \left(u+1\right)$$
17. Juntamos los resultados:
    $$\int \left(-\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u-1}\right)du=\ln \left(u-1\right)-\ln \left(u+1\right)$$
18. Deshacemos el cambio $u=x-2$:
    $$\int \frac{1}{-4u+{\left(u+2\right)}^2-5}dx=\frac{\ln \left(x-3\right)}{2}-\frac{\ln \left(x-1\right)}{2}$$
19. Juntamos los resultados:
    $$\int \frac{x+1}{x^2-4x+3}dx=\frac{3\ln \left(x-3\right)}{2}-\frac{3\ln \left(x-1\right)}{2}+\frac{\ln \left(x^2-4x+3\right)}{2}$$
20. Sumamos la constante de integración $C$:
    $$\int \frac{x+1}{x^2-4x+3}dx=\frac{3\ln \left(x-3\right)}{2}-\frac{3\ln \left(x-1\right)}{2}+\frac{\ln \left(x^2-4x+3\right)}{2}+C$$
    ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.