Matrices y determinantes

1. Desarrollo por cofactores a lo largo de la fila 1 (la que tiene más ceros): $\det (A)={\sum }_j(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}{M}_{1j}$, donde $M_{1j}$ es el determinante que queda al tachar la fila y la columna del elemento.
   ¿Por qué? Un determinante grande se reduce a varios más pequeños. Conviene elegir la fila con más ceros, porque esos términos no hace falta calcularlos.
2. Planteamos el desarrollo:
   $$\det (A)=2\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right|$$
3. Calculamos cada determinante 2×2:
   $$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=3\cdot 1-2\cdot 1=1\\ \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-3\cdot 1=-2\end{array}$$
   ¿Por qué? El determinante mide cuánto «estira» la matriz el área. Para 2×2 es el producto de la diagonal menos el de la otra diagonal.
4. Sustituimos y operamos:
   $$\det (A)=2\cdot 1+1\cdot \left(-2\right)=0$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Regla de Sarrus, Eliminación gaussiana.

1. Una matriz tiene inversa solo si su determinante es distinto de cero.
   ¿Por qué? Si el determinante es 0, la matriz «aplasta» el espacio (por ejemplo, un plano en una recta) y no se puede deshacer: no tiene inversa.
2. Desarrollo por cofactores a lo largo de la fila 2 (la que tiene más ceros): $\det (A)={\sum }_j(-1{)}^{2+j}{a}_{2j}{M}_{2j}$, donde $M_{2j}$ es el determinante que queda al tachar la fila y la columna del elemento.
   ¿Por qué? Un determinante grande se reduce a varios más pequeños. Conviene elegir la fila con más ceros, porque esos términos no hace falta calcularlos.
3. Planteamos el desarrollo:
   $$\det (A)=1\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 0\end{array}\right|-4\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right|$$
4. Calculamos cada determinante 2×2:
   $$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 0\end{array}\right|=1\cdot 0-3\cdot 5=-15\\ \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right|=1\cdot 6-2\cdot 5=-4\end{array}$$
   ¿Por qué? El determinante mide cuánto «estira» la matriz el área. Para 2×2 es el producto de la diagonal menos el de la otra diagonal.
5. Sustituimos y operamos:
   $$\det (A)=1\cdot \left(-15\right)-4\cdot \left(-4\right)=1$$
6. Método de Gauss-Jordan: escribimos $[A\mid I]$ y hacemos operaciones de fila hasta obtener $[I\mid A^{-1}]$.
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 1& 4& 0& 1& 0\\ 5& 6& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Las operaciones de fila que convierten $A$ en la identidad equivalen a multiplicar por $A^{-1}$. Si se hacen a la vez sobre la identidad, esta se convierte en $A^{-1}$.
7. Hacemos ceros en la columna 1: $F_3\to F_3-5F_1$
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 1& 4& 0& 1& 0\\ 0& -4& -15& -5& 0& 1\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra no cambia las soluciones del sistema. Con eso se van haciendo ceros hasta que cada fila da el valor de una incógnita.
8. Hacemos ceros en la columna 2: $F_1\to F_1-2F_2$, $F_3\to F_3+4F_2$
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -5& 1& -2& 0\\ 0& 1& 4& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& -5& 4& 1\end{array}\right]$$
9. Hacemos ceros en la columna 3: $F_1\to F_1+5F_3$, $F_2\to F_2-4F_3$
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -24& 18& 5\\ 0& 1& 0& 20& -15& -4\\ 0& 0& 1& -5& 4& 1\end{array}\right]$$
10. A la izquierda quedó la identidad, así que a la derecha está $A^{-1}$:
    $$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-24& 18& 5\\ 20& -15& -4\\ -5& 4& 1\end{array}\right]$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Matriz adjunta.

1. A es 2×2 y B es 2×2, así que el resultado es 2×2. Cada elemento $c_{ij}$ se obtiene multiplicando la **fila $i$ de A por la columna $j$ de B** y sumando: $c_{ij}={\sum }_k{a}_{ik}{b}_{kj}$.
   ¿Por qué? Cada elemento del producto es una fila de la primera por una columna de la segunda (multiplicando y sumando). Por eso las columnas de A deben coincidir con las filas de B.
2. Calculamos cada elemento:
   $$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\cdot 0+2\cdot 1& 1\cdot 1+2\cdot 0\\ 3\cdot 0+4\cdot 1& 3\cdot 1+4\cdot 0\end{array}\right]$$
3. Resultado:
   $$A\cdot B=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$$

1. Reducimos la matriz a forma escalonada. El rango es el número de filas que no son todo ceros.
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? El rango cuenta cuántas filas aportan información nueva. Las filas que se anulan al escalonar eran combinación de las demás.
2. Hacemos ceros en la columna 1: $F_2\to F_2-2F_1$, $F_3\to F_3-F_1$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& -2& -2\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra no cambia las soluciones del sistema. Con eso se van haciendo ceros hasta que cada fila da el valor de una incógnita.
3. Intercambiamos filas para tener un pivote distinto de cero: $F_2\leftrightarrow F_3$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -2& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
4. Quedan 2 fila(s) no nula(s).
   $$\mathrm{rango}(A)=2$$

1. Los valores propios son las soluciones de la ecuación característica $\det (A-\lambda I)=0$.
   $$A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 1& 2-\lambda \end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Un vector propio es una dirección que la matriz solo estira: $Av=\lambda v$. Eso equivale a $(A-\lambda I)v=0$ con $v\ne 0$, que solo es posible si $\det (A-\lambda I)=0$.
2. Calculamos el determinante (polinomio característico):
   $$\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-4\lambda +3$$
3. Factorizamos e igualamos a cero:
   $$\left(\lambda -3\right)\left(\lambda -1\right)=0$$
   ¿Por qué? Escribir el polinomio como un producto de factores sencillos convierte un problema difícil en varios fáciles: después basta con igualar cada factor a cero.
4. Valores propios:
   $$\lambda =3,\lambda =1$$
5. **Para $\lambda =1$** resolvemos $(A-\lambda I)v=0$:
   $$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]v=0$$
6. Vector(es) propio(s):
   $$v=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$$
7. **Para $\lambda =3$** resolvemos $(A-\lambda I)v=0$:
   $$\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]v=0$$
8. Vector(es) propio(s):
   $$v=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Traza y determinante.

1. Determinante 2×2: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$.
   $$\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 5\end{array}\right|=3\cdot 5-\left(-1\right)\cdot 2=17$$
   ¿Por qué? El determinante mide cuánto «estira» la matriz el área. Para 2×2 es el producto de la diagonal menos el de la otra diagonal.

En Lyz Math también puedes verlo con: Eliminación gaussiana.