Integrales definidas y áreas (regla de Barrow)

1. Queremos calcular:
   $${\int }_0^3{x}^{2}dx$$
2. Primero buscamos una primitiva $F$ (integral indefinida)
3. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$$
4. Aplicamos la regla de Barrow
5. ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, donde $F$ es la primitiva:
   $${\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=9-0=9$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Numérico (regla de Simpson).

1. Queremos calcular:
   $${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$$
2. Primero buscamos una primitiva $F$ (integral indefinida)
3. Integral del seno: $\int \sin xdx=-\cos x$.
   $$\int \sin \left(x\right)dx=-\cos \left(x\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
4. Aplicamos la regla de Barrow
5. ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, donde $F$ es la primitiva:
   $${\left[-\cos \left(x\right)\right]}_0^{\pi }=1-\left(-1\right)=2$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Numérico (regla de Simpson).

1. Queremos calcular:
   $${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx$$
2. Primero buscamos una primitiva $F$ (integral indefinida)
3. Cambio de variable (sustitución): sea $u=-x$, entonces $du=-dx$.
   $$\int e^{-x}dx=\int -e^{u}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
4. Factor constante: sacamos $-1$ fuera de la integral.
   $$\int -e^{u}du=\left(-1\right)\int e^{u}du$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
5. Integral exponencial: $\int e^{x}dx=e^x$ y $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}$.
   $$\int e^{u}du=e^u$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
6. Deshacemos el cambio $u=-x$:
   $$\int e^{-x}dx=-e^{-x}$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
7. Aplicamos la regla de Barrow
8. ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, donde $F$ es la primitiva:
   $${\left[-e^{-x}\right]}_0^{\infty }=0-\left(-1\right)=1$$

1. Queremos calcular:
   $${\int }_1^e\frac{1}{x}dx$$
2. Primero buscamos una primitiva $F$ (integral indefinida)
3. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
   $$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left(x\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
4. Aplicamos la regla de Barrow
5. ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, donde $F$ es la primitiva:
   $${\left[\ln \left(x\right)\right]}_1^e=1-0=1$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Numérico (regla de Simpson).

1. Queremos calcular:
   $${\int }_{-1}^2\left(3x^2-2x\right)dx$$
2. Primero buscamos una primitiva $F$ (integral indefinida)
3. Integral de una suma: integramos cada término por separado.
   $$\int \left(3x^2-2x\right)dx=\int 3x^{2}dx+\int -2xdx$$
   ¿Por qué? Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una suma es la suma de derivadas, la integral de una suma también se hace término a término.
4. Factor constante: sacamos $3$ fuera de la integral.
   $$\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
5. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$$
6. Factor constante: sacamos $-2$ fuera de la integral.
   $$\int -2xdx=\left(-2\right)\int xdx$$
7. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int xdx=\frac{x^2}{2}$$
8. Juntamos los resultados:
   $$\int \left(3x^2-2x\right)dx=x^3-x^2$$
9. Aplicamos la regla de Barrow
10. ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, donde $F$ es la primitiva:
    $${\left[x^3-x^2\right]}_{-1}^2=4-\left(-2\right)=6$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Numérico (regla de Simpson).