Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones diferenciales resueltas paso a paso: de variables separables, lineales de primer orden y de coeficientes constantes, con condiciones iniciales.

Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Las más habituales son:

Separables: se pasan las y a un lado y las x al otro, y se integra.
Lineales de primer orden $y^{'} + p (x) y = q (x)$ : se resuelven con el factor integrante.
De coeficientes constantes (orden 2): se resuelve la ecuación característica.

Con condiciones iniciales, como y(0) = 1, se calculan las constantes y la solución es única.

Fórmulas

Factor integrante

μ (x) = e^{\int p (x) d x}

Ecuación característica

a y^{''} + b y^{'} + cy = 0 \Rightarrow a r^{2} + b r + c = 0

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada ejercicio y después abre la solución. Todas las soluciones están hechas y comprobadas con el motor de Lyz Math.

Ejercicio 1

y^{'} = 2 x y

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

y = C_{1} e^{x^{2}}

Ecuación diferencial:
$y^{'} = 2 x y$
Es una ecuación diferencial ordinaria de orden 1, de variables separables.
Escribimos $y^{'} = \frac{d y}{d x}$ y separamos las variables (todo lo de $y$ a un lado y lo de $x$ al otro):
$\frac{d y}{y} = 2 x d x$
¿Por qué? Si se pueden poner todas las $y$ a un lado y todas las $x$ al otro, basta con integrar cada lado.
Integramos ambos lados y despejamos $y$ :
$\int \frac{d y}{y} = \int 2 x d x \Rightarrow ln (y) = x^{2} + C$
Solución general ( $C_{1}, C_{2}, \dots$ son constantes arbitrarias):
$y = C_{1} e^{x^{2}}$
¿Por qué? Una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, una por cada valor de las constantes $C$ . La solución general las recoge todas.

Ejercicio 2

y^{'} + y = x

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

y = C_{1} e^{- x} + x - 1

Ecuación diferencial:
$y^{'} + y = x$
Es una ecuación diferencial ordinaria de orden 1, lineal no homogénea con coeficientes constantes.
Probamos soluciones de la forma $y = e^{r x}$ : cada derivada $y^{(k)}$ se convierte en $r^{k}$ . Obtenemos la ecuación característica:
$r + 1 = 0$
¿Por qué? Las derivadas de $e^{r x}$ son múltiplos de sí misma, así que al sustituirla la ecuación diferencial se convierte en una ecuación normal para $r$ .
Sus raíces son:
$r = - 1$
Para construir la solución: cada raíz real $r$ aporta $C e^{r x}$ .
Como el lado derecho $x$ no es cero, sumamos una solución particular (por coeficientes indeterminados o variación de parámetros).
Solución general ( $C_{1}, C_{2}, \dots$ son constantes arbitrarias):
$y = C_{1} e^{- x} + x - 1$
¿Por qué? Una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, una por cada valor de las constantes $C$ . La solución general las recoge todas.

Ejercicio 3

y^{''} + y = 0

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

y = cos (x)

Ecuación diferencial:
$y^{''} + y = 0$
Es una ecuación diferencial ordinaria de orden 2, lineal homogénea con coeficientes constantes.
Probamos soluciones de la forma $y = e^{r x}$ : cada derivada $y^{(k)}$ se convierte en $r^{k}$ . Obtenemos la ecuación característica:
$r^{2} + 1 = 0$
¿Por qué? Las derivadas de $e^{r x}$ son múltiplos de sí misma, así que al sustituirla la ecuación diferencial se convierte en una ecuación normal para $r$ .
Sus raíces son:
$r = - i, r = i$
Para construir la solución: cada par complejo $α \pm β i$ aporta $e^{αx} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$ .
Solución general ( $C_{1}, C_{2}, \dots$ son constantes arbitrarias):
$y = C_{1} sin (x) + C_{2} cos (x)$
¿Por qué? Una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, una por cada valor de las constantes $C$ . La solución general las recoge todas.
Aplicamos las condiciones iniciales para calcular las constantes:
$y (0) = 1, y^{'} (0) = 0$
¿Por qué? La solución general tiene constantes porque hay infinitas curvas que cumplen la ecuación. Las condiciones iniciales eligen la única que pasa por esos valores.
Solución particular:
$y = cos (x)$

Ejercicio 4

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

y = (C_{1} + C_{2} e^{x} - x) e^{x}

Ecuación diferencial:
$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}$
Es una ecuación diferencial ordinaria de orden 2, lineal no homogénea con coeficientes constantes.
Probamos soluciones de la forma $y = e^{r x}$ : cada derivada $y^{(k)}$ se convierte en $r^{k}$ . Obtenemos la ecuación característica:
$r^{2} - 3 r + 2 = 0$
¿Por qué? Las derivadas de $e^{r x}$ son múltiplos de sí misma, así que al sustituirla la ecuación diferencial se convierte en una ecuación normal para $r$ .
Sus raíces son:
$r = 2, r = 1$
Para construir la solución: cada raíz real $r$ aporta $C e^{r x}$ .
Como el lado derecho $e^{x}$ no es cero, sumamos una solución particular (por coeficientes indeterminados o variación de parámetros).
Solución general ( $C_{1}, C_{2}, \dots$ son constantes arbitrarias):
$y = (C_{1} + C_{2} e^{x} - x) e^{x}$
¿Por qué? Una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, una por cada valor de las constantes $C$ . La solución general las recoge todas.

Ejercicio 5

y^{'} = y

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

y = 2 e^{x}

Ecuación diferencial:
$y^{'} = y$
Es una ecuación diferencial ordinaria de orden 1, lineal homogénea con coeficientes constantes.
Probamos soluciones de la forma $y = e^{r x}$ : cada derivada $y^{(k)}$ se convierte en $r^{k}$ . Obtenemos la ecuación característica:
$r - 1 = 0$
¿Por qué? Las derivadas de $e^{r x}$ son múltiplos de sí misma, así que al sustituirla la ecuación diferencial se convierte en una ecuación normal para $r$ .
Sus raíces son:
$r = 1$
Para construir la solución: cada raíz real $r$ aporta $C e^{r x}$ .
Solución general ( $C_{1}, C_{2}, \dots$ son constantes arbitrarias):
$y = C_{1} e^{x}$
¿Por qué? Una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, una por cada valor de las constantes $C$ . La solución general las recoge todas.
Aplicamos las condiciones iniciales para calcular las constantes:
$y (0) = 2$
¿Por qué? La solución general tiene constantes porque hay infinitas curvas que cumplen la ecuación. Las condiciones iniciales eligen la única que pasa por esos valores.
Solución particular:
$y = 2 e^{x}$

Más temas de funciones y cálculo

lim

Límites de funciones e indeterminaciones

Ejercicios de límites resueltos paso a paso: 0/0, ∞/∞, límites en el infinito, laterales y la regla de L'Hôpital.

8 ejercicios resueltos · Bachillerato

d/dx

Derivadas: reglas y ejercicios resueltos

Aprende a derivar con la regla del producto, del cociente y de la cadena, con ejercicios de derivadas resueltos paso a paso.

9 ejercicios resueltos · Bachillerato

∫

Integrales inmediatas

Ejercicios resueltos de integrales inmediatas y casi inmediatas, con la tabla de integrales y la comprobación derivando.

6 ejercicios resueltos · Bachillerato

∫u

Integrales por partes

Cómo integrar por partes: qué elegir como u y como dv (regla ALPES) y ejercicios resueltos paso a paso.

6 ejercicios resueltos · Bachillerato

∫t

Integrales por cambio de variable (sustitución)

Aprende a integrar por sustitución o cambio de variable con ejercicios resueltos paso a paso.

6 ejercicios resueltos · Bachillerato

∫÷

Integrales racionales (fracciones simples)

Integrales de funciones racionales resueltas paso a paso: división de polinomios y descomposición en fracciones simples.

5 ejercicios resueltos · Bachillerato

∫ₐᵇ

Integrales definidas y áreas (regla de Barrow)

Calcula integrales definidas con la regla de Barrow y áreas bajo una curva, con ejercicios resueltos paso a paso.

5 ejercicios resueltos · Bachillerato

Polinomios de Taylor y Maclaurin

Calcula el polinomio de Taylor o de Maclaurin de una función derivada a derivada, con ejercicios resueltos paso a paso.

5 ejercicios resueltos · Universidad