Derivadas: reglas y ejercicios resueltos

1. Regla del producto: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, con $f=x^3$ y $g=\sin \left(x\right)$.
   ¿Por qué? En un producto cambian los dos factores a la vez: el cambio total es lo que aporta cada uno mientras el otro se queda quieto. Por eso hay dos términos.
2. Regla de la potencia: $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$.
   $$\frac{d}{dx}\left[x^3\right]=3x^2$$
   ¿Por qué? Al derivar $x^n$ el exponente baja multiplicando y se le resta 1. Sale de la definición de derivada al desarrollar $(x+h{)}^n$.
3. Derivada del seno:
   $$\frac{d}{dx}\left[\sin \left(x\right)\right]=\cos \left(x\right)$$
   ¿Por qué? Las derivadas de las funciones básicas (seno, coseno, exponencial, logaritmo…) se calculan una vez con la definición y luego se usan como una tabla, igual que la de multiplicar.
4. Sustituimos en la regla del producto:
   $$\frac{d}{dx}\left[x^3\sin \left(x\right)\right]=3x^2\cdot \sin \left(x\right)+x^3\cdot \cos \left(x\right)$$
5. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[x^3\sin \left(x\right)\right]=x^3\cos \left(x\right)+3x^2\sin \left(x\right)$$
6. Simplificamos:
   $$=x^2\left(x\cos \left(x\right)+3\sin \left(x\right)\right)$$
   ¿Por qué? Simplificar no cambia el valor: se escribe lo mismo de forma más corta (agrupando términos, cancelando factores…), para que sea más fácil leerlo y seguir operando.

En Lyz Math también puedes verlo con: Derivación logarítmica.

1. Regla del cociente: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, con $f=x^2+1$ y $g=x-1$.
   ¿Por qué? Un cociente es el producto $f\cdot g^{-1}$. Aplicando la regla del producto y la de la cadena a $g^{-1}$ sale esta fórmula.
2. Regla de la suma: la derivada de una suma es la suma de las derivadas.
   $$\frac{d}{dx}\left[x^2+1\right]=\frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]$$
   ¿Por qué? La derivada mide cómo cambia una función. Si dos funciones se suman, sus cambios también se suman, así que se puede derivar cada término por separado.
3. Regla de la potencia: $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$.
   $$\frac{d}{dx}\left[x^2\right]=2x$$
   ¿Por qué? Al derivar $x^n$ el exponente baja multiplicando y se le resta 1. Sale de la definición de derivada al desarrollar $(x+h{)}^n$.
4. Regla de la suma: la derivada de una suma es la suma de las derivadas.
   $$\frac{d}{dx}\left[x-1\right]=\frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[-1\right]$$
5. Sustituimos en la regla del cociente:
   $$\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2+1}{x-1}\right]=\frac{2x\cdot \left(x-1\right)-\left(x^2+1\right)\cdot 1}{{\left(x-1\right)}^2}$$
6. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2+1}{x-1}\right]=\frac{-x^2+2x\left(x-1\right)-1}{{\left(x-1\right)}^2}$$
7. Simplificamos:
   $$=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$$
   ¿Por qué? Simplificar no cambia el valor: se escribe lo mismo de forma más corta (agrupando términos, cancelando factores…), para que sea más fácil leerlo y seguir operando.

En Lyz Math también puedes verlo con: Definición (límite), Derivación logarítmica.

1. Regla de la cadena: derivamos la función exterior (derivada de la exponencial) evaluada en $u=3x^2$ y multiplicamos por la derivada de $u$.
   $$\frac{d}{dx}\left[e^{3x^2}\right]=e^{3x^2}\cdot \frac{d}{dx}\left[3x^2\right]$$
   ¿Por qué? En una función compuesta los cambios se encadenan: la de fuera cambia según la de dentro, y la de dentro según $x$. Por eso se multiplican las dos derivadas.
2. Factor constante: la constante $3$ sale fuera de la derivada.
   $$\frac{d}{dx}\left[3x^2\right]=3\cdot \frac{d}{dx}\left[x^2\right]$$
   ¿Por qué? Si una función se multiplica por un número, su ritmo de cambio también queda multiplicado por ese número: la constante sale fuera.
3. Regla de la potencia: $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$.
   $$\frac{d}{dx}\left[x^2\right]=2x$$
   ¿Por qué? Al derivar $x^n$ el exponente baja multiplicando y se le resta 1. Sale de la definición de derivada al desarrollar $(x+h{)}^n$.
4. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[e^{3x^2}\right]=6x{e}^{3x^2}$$

1. Regla de la cadena: derivamos la función exterior (derivada del logaritmo natural) evaluada en $u=\cos \left(x\right)$ y multiplicamos por la derivada de $u$.
   $$\frac{d}{dx}\left[\ln \left(\cos \left(x\right)\right)\right]=\frac{1}{\cos \left(x\right)}\cdot \frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\right]$$
   ¿Por qué? En una función compuesta los cambios se encadenan: la de fuera cambia según la de dentro, y la de dentro según $x$. Por eso se multiplican las dos derivadas.
2. Derivada del coseno:
   $$\frac{d}{dx}\left[\cos \left(x\right)\right]=-\sin \left(x\right)$$
   ¿Por qué? Las derivadas de las funciones básicas (seno, coseno, exponencial, logaritmo…) se calculan una vez con la definición y luego se usan como una tabla, igual que la de multiplicar.
3. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[\ln \left(\cos \left(x\right)\right)\right]=-\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$$
4. Simplificamos:
   $$=-\tan \left(x\right)$$
   ¿Por qué? Simplificar no cambia el valor: se escribe lo mismo de forma más corta (agrupando términos, cancelando factores…), para que sea más fácil leerlo y seguir operando.

1. Regla del producto: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, con $f=x^2$ y $g=\ln \left(x\right)$.
   ¿Por qué? En un producto cambian los dos factores a la vez: el cambio total es lo que aporta cada uno mientras el otro se queda quieto. Por eso hay dos términos.
2. Regla de la potencia: $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$.
   $$\frac{d}{dx}\left[x^2\right]=2x$$
   ¿Por qué? Al derivar $x^n$ el exponente baja multiplicando y se le resta 1. Sale de la definición de derivada al desarrollar $(x+h{)}^n$.
3. Derivada del logaritmo natural:
   $$\frac{d}{dx}\left[\ln \left(x\right)\right]=\frac{1}{x}$$
   ¿Por qué? Las derivadas de las funciones básicas (seno, coseno, exponencial, logaritmo…) se calculan una vez con la definición y luego se usan como una tabla, igual que la de multiplicar.
4. Sustituimos en la regla del producto:
   $$\frac{d}{dx}\left[x^2\ln \left(x\right)\right]=2x\cdot \ln \left(x\right)+x^2\cdot \frac{1}{x}$$
5. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[x^2\ln \left(x\right)\right]=2x\ln \left(x\right)+x$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Derivación logarítmica.

1. Regla de la cadena (potencia): $\frac{d}{dx}{u}^n=n{u}^{n-1}\cdot u^{\prime }$, con $u=x^2+1$.
   $$\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x^2+1}\right]=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{d}{dx}\left[x^2+1\right]$$
   ¿Por qué? En una función compuesta los cambios se encadenan: la de fuera cambia según la de dentro, y la de dentro según $x$. Por eso se multiplican las dos derivadas.
2. Regla de la suma: la derivada de una suma es la suma de las derivadas.
   $$\frac{d}{dx}\left[x^2+1\right]=\frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]$$
   ¿Por qué? La derivada mide cómo cambia una función. Si dos funciones se suman, sus cambios también se suman, así que se puede derivar cada término por separado.
3. Regla de la potencia: $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$.
   $$\frac{d}{dx}\left[x^2\right]=2x$$
   ¿Por qué? Al derivar $x^n$ el exponente baja multiplicando y se le resta 1. Sale de la definición de derivada al desarrollar $(x+h{)}^n$.
4. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x^2+1}\right]=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Definición (límite).

1. Regla de la cadena (potencia): $\frac{d}{dx}{u}^n=n{u}^{n-1}\cdot u^{\prime }$, con $u=\sin \left(x\right)$.
   $$\frac{d}{dx}\left[{\sin }^2\left(x\right)\right]=2\sin \left(x\right)\cdot \frac{d}{dx}\left[\sin \left(x\right)\right]$$
   ¿Por qué? En una función compuesta los cambios se encadenan: la de fuera cambia según la de dentro, y la de dentro según $x$. Por eso se multiplican las dos derivadas.
2. Derivada del seno:
   $$\frac{d}{dx}\left[\sin \left(x\right)\right]=\cos \left(x\right)$$
   ¿Por qué? Las derivadas de las funciones básicas (seno, coseno, exponencial, logaritmo…) se calculan una vez con la definición y luego se usan como una tabla, igual que la de multiplicar.
3. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[{\sin }^2\left(x\right)\right]=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)$$
4. Simplificamos:
   $$=\sin \left(2x\right)$$
   ¿Por qué? Simplificar no cambia el valor: se escribe lo mismo de forma más corta (agrupando términos, cancelando factores…), para que sea más fácil leerlo y seguir operando.

1. Derivación logarítmica: para $f^g$ se usa $\frac{d}{dx}{f}^g=f^g\left(g^{\prime }\ln f+g\frac{f^{\prime }}{f}\right)$, con $f=x$ y $g=x$.
   ¿Por qué? Cuando la variable está en la base y en el exponente, ninguna regla sirve directamente. Al tomar logaritmos el exponente baja multiplicando y ya se puede derivar.
2. Sustituimos en la fórmula:
   $$\frac{d}{dx}\left[x^x\right]=x^x\left(1\ln \left(x\right)+x\cdot \frac{1}{x}\right)$$
3. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[x^x\right]=x^x\left(\ln \left(x\right)+1\right)$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Derivación logarítmica.

1. Regla de la cadena: derivamos la función exterior (derivada de la arcotangente) evaluada en $u=2x$ y multiplicamos por la derivada de $u$.
   $$\frac{d}{dx}\left[\mathrm{atan}\left(2x\right)\right]=\frac{1}{4x^2+1}\cdot \frac{d}{dx}\left[2x\right]$$
   ¿Por qué? En una función compuesta los cambios se encadenan: la de fuera cambia según la de dentro, y la de dentro según $x$. Por eso se multiplican las dos derivadas.
2. Factor constante: la constante $2$ sale fuera de la derivada.
   $$\frac{d}{dx}\left[2x\right]=2\cdot \frac{d}{dx}\left[x\right]$$
   ¿Por qué? Si una función se multiplica por un número, su ritmo de cambio también queda multiplicado por ese número: la constante sale fuera.
3. Juntamos todo:
   $$\frac{d}{dx}\left[\mathrm{atan}\left(2x\right)\right]=\frac{2}{4x^2+1}$$