Integrales por partes

1. Queremos calcular:
   $$\int x{e}^{x}dx$$
2. Integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$. Elegimos $u=x$ y $dv=e^{x}dx$.
   ¿Por qué? Sale de la regla del producto: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Sirve cuando hay un producto y al derivar uno de los factores se simplifica (la regla ALPES ayuda a elegirlo).
3. Entonces $du=dx$ y $v=\int e^{x}dx=e^x$.
4. Aplicamos la fórmula:
   $$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx$$
5. Integral exponencial: $\int e^{x}dx=e^x$ y $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}$.
   $$\int e^{x}dx=e^x$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
6. Resultado de la integración por partes:
   $$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-e^x$$
7. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int x\ln \left(x\right)dx$$
2. Integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$. Elegimos $u=\ln \left(x\right)$ y $dv=xdx$.
   ¿Por qué? Sale de la regla del producto: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Sirve cuando hay un producto y al derivar uno de los factores se simplifica (la regla ALPES ayuda a elegirlo).
3. Entonces $du=\frac{1}{x}dx$ y $v=\int xdx=\frac{x^2}{2}$.
4. Aplicamos la fórmula:
   $$\int x\ln \left(x\right)dx=\frac{x^2\ln \left(x\right)}{2}-\int \frac{x}{2}dx$$
5. Factor constante: sacamos $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.
   $$\int \frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}\int xdx$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
6. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int xdx=\frac{x^2}{2}$$
7. Resultado de la integración por partes:
   $$\int x\ln \left(x\right)dx=\frac{x^2\ln \left(x\right)}{2}-\frac{x^2}{4}$$
8. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int x\ln \left(x\right)dx=\frac{x^2\ln \left(x\right)}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

En Lyz Math también puedes verlo con: Cambio de variable.

1. Queremos calcular:
   $$\int x\cos \left(x\right)dx$$
2. Integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$. Elegimos $u=x$ y $dv=\cos \left(x\right)dx$.
   ¿Por qué? Sale de la regla del producto: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Sirve cuando hay un producto y al derivar uno de los factores se simplifica (la regla ALPES ayuda a elegirlo).
3. Entonces $du=dx$ y $v=\int \cos \left(x\right)dx=\sin \left(x\right)$.
4. Aplicamos la fórmula:
   $$\int x\cos \left(x\right)dx=x\sin \left(x\right)-\int \sin \left(x\right)dx$$
5. Integral del seno: $\int \sin xdx=-\cos x$.
   $$\int \sin \left(x\right)dx=-\cos \left(x\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
6. Resultado de la integración por partes:
   $$\int x\cos \left(x\right)dx=x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)$$
7. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int x\cos \left(x\right)dx=x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int \ln \left(x\right)dx$$
2. Integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$. Elegimos $u=\ln \left(x\right)$ y $dv=1dx$.
   ¿Por qué? Sale de la regla del producto: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Sirve cuando hay un producto y al derivar uno de los factores se simplifica (la regla ALPES ayuda a elegirlo).
3. Entonces $du=\frac{1}{x}dx$ y $v=\int 1dx=x$.
4. Aplicamos la fórmula:
   $$\int \ln \left(x\right)dx=x\ln \left(x\right)-\int 1dx$$
5. Integral de una constante: $\int cdx=cx$.
   $$\int 1dx=x$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
6. Resultado de la integración por partes:
   $$\int \ln \left(x\right)dx=x\ln \left(x\right)-x$$
7. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \ln \left(x\right)dx=x\ln \left(x\right)-x+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int x^2{e}^{x}dx$$
2. Integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$. Elegimos $u=x^2$ y $dv=e^{x}dx$.
   ¿Por qué? Sale de la regla del producto: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Sirve cuando hay un producto y al derivar uno de los factores se simplifica (la regla ALPES ayuda a elegirlo).
3. Entonces $du=2xdx$ y $v=\int e^{x}dx=e^x$.
4. Aplicamos la fórmula:
   $$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-\int 2x{e}^{x}dx$$
5. Integración por partes: $\int udv=uv-\int vdu$. Elegimos $u=2x$ y $dv=e^{x}dx$.
6. Entonces $du=2dx$ y $v=\int e^{x}dx=e^x$.
7. Aplicamos la fórmula:
   $$\int 2x{e}^{x}dx=2x{e}^x-\int 2e^{x}dx$$
8. Factor constante: sacamos $2$ fuera de la integral.
   $$\int 2e^{x}dx=2\int e^{x}dx$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
9. Integral exponencial: $\int e^{x}dx=e^x$ y $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}$.
   $$\int e^{x}dx=e^x$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
10. Resultado de la integración por partes:
    $$\int 2x{e}^{x}dx=2x{e}^x-2e^x$$
11. Resultado de la integración por partes:
    $$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x$$
12. Sumamos la constante de integración $C$:
    $$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x+C$$
    ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int e^x\sin \left(x\right)dx$$
2. Integración por partes cíclica: al aplicar partes dos veces vuelve a aparecer la integral original $I$, así que podemos despejarla.
   ¿Por qué? A veces, al aplicar partes dos veces, vuelve a salir la integral del principio. Entonces se trata como una ecuación con incógnita $I$ y se despeja.
3. Partes con $u=\sin \left(x\right)$ y $dv=e^{x}dx$.
4. Partes con $u=\cos \left(x\right)$ y $dv=e^{x}dx$.
5. Despejando $I$:
   $$\int e^x\sin \left(x\right)dx=\frac{e^x\sin \left(x\right)}{2}-\frac{e^x\cos \left(x\right)}{2}$$
6. Simplificamos:
   $$\frac{e^x\sin \left(x\right)}{2}-\frac{e^x\cos \left(x\right)}{2}=-\frac{\sqrt{2}{e}^x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)}{2}$$
   ¿Por qué? Simplificar no cambia el valor: se escribe lo mismo de forma más corta (agrupando términos, cancelando factores…), para que sea más fácil leerlo y seguir operando.
7. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int e^x\sin \left(x\right)dx=-\frac{\sqrt{2}{e}^x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)}{2}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.