Ecuaciones bicuadradas y de grado superior (Ruffini)

1. Ecuación a resolver:
   $$x^4-5x^2+4=0$$
2. Factorizamos el polinomio:
   $$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0$$
   ¿Por qué? Escribir el polinomio como un producto de factores sencillos convierte un problema difícil en varios fáciles: después basta con igualar cada factor a cero.
3. Un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero:
   $$x-2=0,x-1=0,x+1=0,x+2=0$$
   ¿Por qué? Si un producto vale cero, alguno de sus factores tiene que valer cero: es imposible multiplicar dos números distintos de cero y obtener cero. Por eso cada factor se iguala a cero por separado.
4. **Factor $x-2=0$:**
5. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-2$.
   ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como $ax+b=0$ y tiene una única solución, $x=-b/a$ (si $a\ne 0$).
6. Sumamos $2$ en ambos lados:
   $$x=2$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
7. **Factor $x-1=0$:**
8. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-1$.
9. Sumamos $1$ en ambos lados:
   $$x=1$$
10. **Factor $x+1=0$:**
11. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=1$.
12. Restamos $1$ en ambos lados:
    $$x=-1$$
13. **Factor $x+2=0$:**
14. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=2$.
15. Restamos $2$ en ambos lados:
    $$x=-2$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Ruffini (raíces racionales).

1. Ecuación a resolver:
   $$x^4-13x^2+36=0$$
2. Factorizamos el polinomio:
   $$\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0$$
   ¿Por qué? Escribir el polinomio como un producto de factores sencillos convierte un problema difícil en varios fáciles: después basta con igualar cada factor a cero.
3. Un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero:
   $$x-3=0,x-2=0,x+2=0,x+3=0$$
   ¿Por qué? Si un producto vale cero, alguno de sus factores tiene que valer cero: es imposible multiplicar dos números distintos de cero y obtener cero. Por eso cada factor se iguala a cero por separado.
4. **Factor $x-3=0$:**
5. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-3$.
   ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como $ax+b=0$ y tiene una única solución, $x=-b/a$ (si $a\ne 0$).
6. Sumamos $3$ en ambos lados:
   $$x=3$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
7. **Factor $x-2=0$:**
8. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-2$.
9. Sumamos $2$ en ambos lados:
   $$x=2$$
10. **Factor $x+2=0$:**
11. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=2$.
12. Restamos $2$ en ambos lados:
    $$x=-2$$
13. **Factor $x+3=0$:**
14. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=3$.
15. Restamos $3$ en ambos lados:
    $$x=-3$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Ruffini (raíces racionales).

1. Ecuación a resolver:
   $$x^3-6x^2+11x-6=0$$
2. Factorizamos el polinomio:
   $$\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0$$
   ¿Por qué? Escribir el polinomio como un producto de factores sencillos convierte un problema difícil en varios fáciles: después basta con igualar cada factor a cero.
3. Un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero:
   $$x-3=0,x-2=0,x-1=0$$
   ¿Por qué? Si un producto vale cero, alguno de sus factores tiene que valer cero: es imposible multiplicar dos números distintos de cero y obtener cero. Por eso cada factor se iguala a cero por separado.
4. **Factor $x-3=0$:**
5. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-3$.
   ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como $ax+b=0$ y tiene una única solución, $x=-b/a$ (si $a\ne 0$).
6. Sumamos $3$ en ambos lados:
   $$x=3$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
7. **Factor $x-2=0$:**
8. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-2$.
9. Sumamos $2$ en ambos lados:
   $$x=2$$
10. **Factor $x-1=0$:**
11. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-1$.
12. Sumamos $1$ en ambos lados:
    $$x=1$$
13. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
    $$\begin{array}{r}x=3\Rightarrow 0=0✓\\ x=2\Rightarrow 0=0✓\\ x=1\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
    ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Ruffini (raíces racionales).

1. Ecuación a resolver:
   $$x^3-x=0$$
2. Factorizamos el polinomio:
   $$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$
   ¿Por qué? Escribir el polinomio como un producto de factores sencillos convierte un problema difícil en varios fáciles: después basta con igualar cada factor a cero.
3. Un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero:
   $$x-1=0,x=0,x+1=0$$
   ¿Por qué? Si un producto vale cero, alguno de sus factores tiene que valer cero: es imposible multiplicar dos números distintos de cero y obtener cero. Por eso cada factor se iguala a cero por separado.
4. **Factor $x-1=0$:**
5. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-1$.
   ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como $ax+b=0$ y tiene una única solución, $x=-b/a$ (si $a\ne 0$).
6. Sumamos $1$ en ambos lados:
   $$x=1$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
7. **Factor $x=0$:**
8. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=0$.
9. **Factor $x+1=0$:**
10. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=1$.
11. Restamos $1$ en ambos lados:
    $$x=-1$$
12. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
    $$\begin{array}{r}x=1\Rightarrow 0=0✓\\ x=0\Rightarrow 0=0✓\\ x=-1\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
    ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Ruffini (raíces racionales).

1. Ecuación a resolver:
   $$2x^3-3x^2-3x+2=0$$
2. Factorizamos el polinomio:
   $$\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(2x-1\right)=0$$
   ¿Por qué? Escribir el polinomio como un producto de factores sencillos convierte un problema difícil en varios fáciles: después basta con igualar cada factor a cero.
3. Un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero:
   $$x-2=0,x+1=0,2x-1=0$$
   ¿Por qué? Si un producto vale cero, alguno de sus factores tiene que valer cero: es imposible multiplicar dos números distintos de cero y obtener cero. Por eso cada factor se iguala a cero por separado.
4. **Factor $x-2=0$:**
5. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-2$.
   ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como $ax+b=0$ y tiene una única solución, $x=-b/a$ (si $a\ne 0$).
6. Sumamos $2$ en ambos lados:
   $$x=2$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
7. **Factor $x+1=0$:**
8. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=1$.
9. Restamos $1$ en ambos lados:
   $$x=-1$$
10. **Factor $2x-1=0$:**
11. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=2$ y $b=-1$.
12. Sumamos $1$ en ambos lados:
    $$2x=1$$
13. Dividimos ambos lados entre $2$:
    $$x=\frac{1}{2}$$
    ¿Por qué? Dividir los dos lados entre el mismo número (distinto de cero) mantiene la igualdad. Así se quita el número que multiplica a la incógnita: lo que multiplica «pasa dividiendo».
14. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
    $$\begin{array}{r}x=2\Rightarrow 0=0✓\\ x=-1\Rightarrow 0=0✓\\ x=\frac{1}{2}\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
    ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Ruffini (raíces racionales).

1. Ecuación a resolver:
   $$x^4-1=0$$
2. Factorizamos el polinomio:
   $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=0$$
   ¿Por qué? Escribir el polinomio como un producto de factores sencillos convierte un problema difícil en varios fáciles: después basta con igualar cada factor a cero.
3. Un producto vale cero cuando alguno de sus factores vale cero:
   $$x-1=0,x+1=0,x^2+1=0$$
   ¿Por qué? Si un producto vale cero, alguno de sus factores tiene que valer cero: es imposible multiplicar dos números distintos de cero y obtener cero. Por eso cada factor se iguala a cero por separado.
4. **Factor $x-1=0$:**
5. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=-1$.
   ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como $ax+b=0$ y tiene una única solución, $x=-b/a$ (si $a\ne 0$).
6. Sumamos $1$ en ambos lados:
   $$x=1$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
7. **Factor $x+1=0$:**
8. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=1$ y $b=1$.
9. Restamos $1$ en ambos lados:
   $$x=-1$$
10. **Factor $x^2+1=0$:**
11. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=1$, $b=0$ y $c=1$.
    ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
12. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
    $$\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot 1=-4$$
    ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
13. Como $\Delta <0$, no hay soluciones reales: hay dos soluciones complejas conjugadas.
14. Aplicamos la fórmula general:
    $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{0\pm \sqrt{-4}}{2}$$
    ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
15. Separamos los dos signos:
    $$x_1=\frac{0+\sqrt{-4}}{2}=i,x_2=\frac{0-\sqrt{-4}}{2}=-i$$
    ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.

En Lyz Math también puedes verlo con: Ruffini (raíces racionales), Método numérico (Newton).