Estadística: media, mediana, moda y desviación típica

Calcula la media, la mediana, la moda, la varianza, la desviación típica y los cuartiles de un conjunto de datos, con ejercicios resueltos.

Las medidas de centralización resumen los datos en un solo número: la media (suma entre número de datos), la mediana (el valor del centro, con los datos ordenados) y la moda (el que más se repite).

Las medidas de dispersión, como la varianza y la desviación típica, dicen cuánto se separan los datos de la media.

Fórmulas

Media

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}

Varianza

σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Desviación típica

σ = σ^{2}

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada ejercicio y después abre la solución. Todas las soluciones están hechas y comprobadas con el motor de Lyz Math.

Ejercicio 1

Datos: 3, 5, 7, 7, 9.

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Resultado ✓ Verificado

\overset{x}{ˉ} M e M o σ = \frac{31}{5} = 7 = 7 = \frac{2 26}{5} \approx 2.039607805

Datos ordenados de menor a mayor:
$3, 5, 7, 7, 9$
Número de datos:
$n = 5$
Media: sumamos todos los datos y dividimos entre cuántos hay.
$\overset{x}{ˉ} = \frac{31}{5} = \frac{31}{5}$
¿Por qué? La media reparte el total a partes iguales: es el valor que tendría cada dato si todos fueran iguales.
Mediana: con 5 datos (impar), es el del centro, el que ocupa el lugar 3.
$M e = 7$
¿Por qué? La mediana deja la mitad de los datos por debajo y la otra mitad por encima. A diferencia de la media, un dato muy grande o muy pequeño casi no la cambia.
Moda: el dato que más se repite (2 veces).
$M o = 7$
¿Por qué? La moda es el valor más frecuente. Puede haber varias modas o ninguna, y sirve también para datos que no son números (colores, marcas…).
Rango: el dato mayor menos el menor.
$R = 9 - 3 = 6$
¿Por qué? El rango cuenta cuántas filas aportan información nueva. Las filas que se anulan al escalonar eran combinación de las demás.
Varianza: la media de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media.
$σ^{2} = \frac{( 3 - \frac{31}{5} ) ^{2} + ( 5 - \frac{31}{5} ) ^{2} + ( 7 - \frac{31}{5} ) ^{2} + ( 7 - \frac{31}{5} ) ^{2} + ( 9 - \frac{31}{5} ) ^{2}}{5} = \frac{104}{25}$
¿Por qué? Mide cuánto se separan los datos de la media. Las distancias se elevan al cuadrado para que las negativas no anulen a las positivas.
Desviación típica: la raíz cuadrada de la varianza (en las mismas unidades que los datos).
$σ = \frac{104}{25} = \frac{2 26}{5} \approx 2.039607805$
¿Por qué? La varianza está en unidades al cuadrado (cm²). Su raíz, la desviación típica, vuelve a las unidades de los datos y dice cuánto se alejan «de normal» de la media.
Si los datos son una muestra de algo más grande, se divide entre $n - 1$ en lugar de $n$ :
$s^{2} = \frac{\frac{104}{5}}{4} = \frac{26}{5}, s = \frac{130}{5} \approx 2.28035085$
¿Por qué? Una muestra suele estar menos dispersa que toda la población. Dividir entre $n - 1$ en lugar de $n$ corrige ese defecto y da una estimación mejor.
Cuartiles: $Q_{1}$ es la mediana de la mitad de abajo y $Q_{3}$ la de la mitad de arriba.
$Q_{1} = 4, Q_{3} = 8, Q_{3} - Q_{1} = 4$
¿Por qué? Los cuartiles parten los datos ordenados en cuatro partes iguales. Entre $Q_{1}$ y $Q_{3}$ está la mitad central de los datos.

Ejercicio 2

Datos: 12, 15, 11, 18, 15, 20, 14.

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Resultado ✓ Verificado

\overset{x}{ˉ} M e M o σ = 15 = 15 = 15 = \frac{2 105}{7} \approx 2.927700219

Datos ordenados de menor a mayor:
$11, 12, 14, 15, 15, 18, 20$
Número de datos:
$n = 7$
Media: sumamos todos los datos y dividimos entre cuántos hay.
$\overset{x}{ˉ} = \frac{105}{7} = 15$
¿Por qué? La media reparte el total a partes iguales: es el valor que tendría cada dato si todos fueran iguales.
Mediana: con 7 datos (impar), es el del centro, el que ocupa el lugar 4.
$M e = 15$
¿Por qué? La mediana deja la mitad de los datos por debajo y la otra mitad por encima. A diferencia de la media, un dato muy grande o muy pequeño casi no la cambia.
Moda: el dato que más se repite (2 veces).
$M o = 15$
¿Por qué? La moda es el valor más frecuente. Puede haber varias modas o ninguna, y sirve también para datos que no son números (colores, marcas…).
Rango: el dato mayor menos el menor.
$R = 20 - 11 = 9$
¿Por qué? El rango cuenta cuántas filas aportan información nueva. Las filas que se anulan al escalonar eran combinación de las demás.
Varianza: la media de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media.
$σ^{2} = \frac{( 11 - 15 ) ^{2} + ( 12 - 15 ) ^{2} + ( 14 - 15 ) ^{2} + ( 15 - 15 ) ^{2} + ( 15 - 15 ) ^{2} + ( 18 - 15 ) ^{2} + ( 20 - 15 ) ^{2}}{7} = \frac{60}{7}$
¿Por qué? Mide cuánto se separan los datos de la media. Las distancias se elevan al cuadrado para que las negativas no anulen a las positivas.
Desviación típica: la raíz cuadrada de la varianza (en las mismas unidades que los datos).
$σ = \frac{60}{7} = \frac{2 105}{7} \approx 2.927700219$
¿Por qué? La varianza está en unidades al cuadrado (cm²). Su raíz, la desviación típica, vuelve a las unidades de los datos y dice cuánto se alejan «de normal» de la media.
Si los datos son una muestra de algo más grande, se divide entre $n - 1$ en lugar de $n$ :
$s^{2} = \frac{60}{6} = 10, s = 10 \approx 3.16227766$
¿Por qué? Una muestra suele estar menos dispersa que toda la población. Dividir entre $n - 1$ en lugar de $n$ corrige ese defecto y da una estimación mejor.
Cuartiles: $Q_{1}$ es la mediana de la mitad de abajo y $Q_{3}$ la de la mitad de arriba.
$Q_{1} = 12, Q_{3} = 18, Q_{3} - Q_{1} = 6$
¿Por qué? Los cuartiles parten los datos ordenados en cuatro partes iguales. Entre $Q_{1}$ y $Q_{3}$ está la mitad central de los datos.

Ejercicio 3

Valores 1, 2, 3, 4 con frecuencias 2, 5, 3, 1.

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Resultado ✓ Verificado

\overset{x}{ˉ} M e M o σ = \frac{25}{11} = 2 = 2 = \frac{3 10}{11} \approx 0.8624393619

Datos ordenados de menor a mayor:
$1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4$
Número de datos:
$n = 11$
Media: sumamos todos los datos y dividimos entre cuántos hay.
$\overset{x}{ˉ} = \frac{25}{11} = \frac{25}{11}$
¿Por qué? La media reparte el total a partes iguales: es el valor que tendría cada dato si todos fueran iguales.
Mediana: con 11 datos (impar), es el del centro, el que ocupa el lugar 6.
$M e = 2$
¿Por qué? La mediana deja la mitad de los datos por debajo y la otra mitad por encima. A diferencia de la media, un dato muy grande o muy pequeño casi no la cambia.
Moda: el dato que más se repite (5 veces).
$M o = 2$
¿Por qué? La moda es el valor más frecuente. Puede haber varias modas o ninguna, y sirve también para datos que no son números (colores, marcas…).
Rango: el dato mayor menos el menor.
$R = 4 - 1 = 3$
¿Por qué? El rango cuenta cuántas filas aportan información nueva. Las filas que se anulan al escalonar eran combinación de las demás.
Varianza: la media de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media.
$σ^{2} = \frac{( 1 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 1 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 2 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 2 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 2 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 2 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 2 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 3 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 3 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 3 - \frac{25}{11} ) ^{2} + ( 4 - \frac{25}{11} ) ^{2}}{11} = \frac{90}{121}$
¿Por qué? Mide cuánto se separan los datos de la media. Las distancias se elevan al cuadrado para que las negativas no anulen a las positivas.
Desviación típica: la raíz cuadrada de la varianza (en las mismas unidades que los datos).
$σ = \frac{90}{121} = \frac{3 10}{11} \approx 0.8624393619$
¿Por qué? La varianza está en unidades al cuadrado (cm²). Su raíz, la desviación típica, vuelve a las unidades de los datos y dice cuánto se alejan «de normal» de la media.
Si los datos son una muestra de algo más grande, se divide entre $n - 1$ en lugar de $n$ :
$s^{2} = \frac{\frac{90}{11}}{10} = \frac{9}{11}, s = \frac{3 11}{11} \approx 0.9045340337$
¿Por qué? Una muestra suele estar menos dispersa que toda la población. Dividir entre $n - 1$ en lugar de $n$ corrige ese defecto y da una estimación mejor.
Cuartiles: $Q_{1}$ es la mediana de la mitad de abajo y $Q_{3}$ la de la mitad de arriba.
$Q_{1} = 2, Q_{3} = 3, Q_{3} - Q_{1} = 1$
¿Por qué? Los cuartiles parten los datos ordenados en cuatro partes iguales. Entre $Q_{1}$ y $Q_{3}$ está la mitad central de los datos.

Ejercicio 4

Notas: 6.5, 7.2, 5.8, 9.1, 7.2, 8.4.

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Resultado ✓ Verificado

\overset{x}{ˉ} M e M o σ = \frac{221}{30} = \frac{36}{5} = \frac{36}{5} = \frac{11}{3} \approx 1.105541597

Datos ordenados de menor a mayor:
$\frac{29}{5}, \frac{13}{2}, \frac{36}{5}, \frac{36}{5}, \frac{42}{5}, \frac{91}{10}$
Número de datos:
$n = 6$
Media: sumamos todos los datos y dividimos entre cuántos hay.
$\overset{x}{ˉ} = \frac{\frac{221}{5}}{6} = \frac{221}{30}$
¿Por qué? La media reparte el total a partes iguales: es el valor que tendría cada dato si todos fueran iguales.
Mediana: con 6 datos (par), es la media de los dos del centro (lugares 3 y 4).
$M e = \frac{\frac{36}{5} + \frac{36}{5}}{2} = \frac{36}{5}$
¿Por qué? La mediana deja la mitad de los datos por debajo y la otra mitad por encima. A diferencia de la media, un dato muy grande o muy pequeño casi no la cambia.
Moda: el dato que más se repite (2 veces).
$M o = \frac{36}{5}$
¿Por qué? La moda es el valor más frecuente. Puede haber varias modas o ninguna, y sirve también para datos que no son números (colores, marcas…).
Rango: el dato mayor menos el menor.
$R = \frac{91}{10} - \frac{29}{5} = \frac{33}{10}$
¿Por qué? El rango cuenta cuántas filas aportan información nueva. Las filas que se anulan al escalonar eran combinación de las demás.
Varianza: la media de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media.
$σ^{2} = \frac{( \frac{29}{5} - \frac{221}{30} ) ^{2} + ( \frac{13}{2} - \frac{221}{30} ) ^{2} + ( \frac{36}{5} - \frac{221}{30} ) ^{2} + ( \frac{36}{5} - \frac{221}{30} ) ^{2} + ( \frac{42}{5} - \frac{221}{30} ) ^{2} + ( \frac{91}{10} - \frac{221}{30} ) ^{2}}{6} = \frac{11}{9}$
¿Por qué? Mide cuánto se separan los datos de la media. Las distancias se elevan al cuadrado para que las negativas no anulen a las positivas.
Desviación típica: la raíz cuadrada de la varianza (en las mismas unidades que los datos).
$σ = \frac{11}{9} = \frac{11}{3} \approx 1.105541597$
¿Por qué? La varianza está en unidades al cuadrado (cm²). Su raíz, la desviación típica, vuelve a las unidades de los datos y dice cuánto se alejan «de normal» de la media.
Si los datos son una muestra de algo más grande, se divide entre $n - 1$ en lugar de $n$ :
$s^{2} = \frac{\frac{22}{3}}{5} = \frac{22}{15}, s = \frac{330}{15} \approx 1.211060142$
¿Por qué? Una muestra suele estar menos dispersa que toda la población. Dividir entre $n - 1$ en lugar de $n$ corrige ese defecto y da una estimación mejor.
Cuartiles: $Q_{1}$ es la mediana de la mitad de abajo y $Q_{3}$ la de la mitad de arriba.
$Q_{1} = \frac{13}{2}, Q_{3} = \frac{42}{5}, Q_{3} - Q_{1} = \frac{19}{10}$
¿Por qué? Los cuartiles parten los datos ordenados en cuatro partes iguales. Entre $Q_{1}$ y $Q_{3}$ está la mitad central de los datos.

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