Combinatoria y probabilidad

Ejercicios resueltos de combinaciones, variaciones, permutaciones, regla de Laplace y distribución binomial.

La combinatoria cuenta de cuántas formas se pueden elegir u ordenar elementos. Hazte dos preguntas: ¿importa el orden? (si importa, son variaciones o permutaciones; si no, combinaciones) y ¿se pueden repetir?

En probabilidad, la regla de Laplace divide los casos favorables entre los posibles, y la binomial calcula la probabilidad de k éxitos en n intentos.

Fórmulas

Combinaciones

C_{n, k} = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Variaciones

V_{n, k} = \frac{n !}{( n - k )!}

Permutaciones

P_{n} = n!

Regla de Laplace

P (A) = \frac{casos favorables}{casos posibles}

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada ejercicio y después abre la solución. Todas las soluciones están hechas y comprobadas con el motor de Lyz Math.

Ejercicio 1

¿De cuántas formas se pueden elegir 3 personas de un grupo de 10?

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Resultado ✓ Verificado

C_{10, 3} = 120

Para elegir la fórmula: ¿importa el orden? No. ¿Se pueden repetir los elementos? No.
Combinaciones sin repetición: como las variaciones, pero dividiendo entre $k!$ porque el orden no importa.
$C_{10, 3} = (3 10) = \frac{10 !}{3 ! \cdot 7 !} = 120$

Ejercicio 2

¿Cuántos podios (1.º, 2.º y 3.º) hay con 8 corredores?

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Resultado ✓ Verificado

V_{8, 3} = 336

Para elegir la fórmula: ¿importa el orden? Sí. ¿Se pueden repetir los elementos? No.
Variaciones sin repetición: el primero se elige entre $n$ , el segundo entre $n - 1$ …
$V_{8, 3} = \frac{n !}{( n - k )!} = \frac{8 !}{5 !} = 336$

Ejercicio 3

¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros?

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Resultado ✓ Verificado

P_{5} = 120

Para elegir la fórmula: ¿importa el orden? Sí. ¿Se pueden repetir los elementos? No.
Permutaciones: ordenar los $n$ elementos de todas las formas posibles.
$P_{5} = n! = 5! = 120$

Ejercicio 4

¿Cuántos códigos de 4 cifras hay?

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Resultado ✓ Verificado

V R_{10, 4} = 10000

Para elegir la fórmula: ¿importa el orden? Sí. ¿Se pueden repetir los elementos? Sí.
Variaciones con repetición: cada uno de los $k$ puestos se puede llenar de $n$ maneras.
$V R_{10, 4} = n^{k} = 1 0^{4} = 10000$

Ejercicio 5

Probabilidad de sacar un número par al tirar un dado.

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Resultado ✓ Verificado

P = \frac{1}{2} \approx 50.0 %

Regla de Laplace (todos los casos igual de probables): casos favorables entre casos posibles.
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \approx 50.0 %$

Ejercicio 6

Probabilidad de 2 caras en 5 lanzamientos de una moneda.

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Resultado ✓ Verificado

P (X = 2) = \frac{5}{16} \approx 0.3125

Distribución binomial: $n$ intentos independientes, cada uno con probabilidad $p$ de éxito. Se elige dónde caen los $k$ éxitos y se multiplican las probabilidades.
$P (X = 2) = (2 5) p^{2} (1 - p)^{3} = 10 \cdot \frac{1}{2}^{2} \cdot \frac{1}{2}^{3} = \frac{5}{16}$

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